המתמטיקה כתבנית

מאמר שכתבתי לפני שנים אחדות, ונערך מחדש.

במאמר זה אני מציג השקפה יפהפיה על המתמטיקה (או לייתר דיוק: על התורות מתמטיות בתחומים השונים).  זוהי ראיה שונה במקצת ממה שמלמדים בתיכון ברמה המוגברת. אלמנטים אחדים מדברי - לא ראיתים בשום מקום, והם נאמרים על דעתי הפרטית בלבד.

ובכן, מהי מתמטיקה?

מתמטיקה הינה חקירת תולדות הגיוניות של מושגי יסוד, יחסי יסוד שביניהם, פעולות שביניהם, והנחות (אקסיומות) נתונות.
ותו לא.

כלומר, המתמטיקה אינה קובעת כי "דרך נקודה נתונה עובר מקביל אחד ורק אחד לישר נתון". לא ולא! המתמטיקה משתמשת באמירה זו כהנחה, וחוקרת את המסקנות הלוגיות המשתמעות מהנחה זו.

הנה דוגמא להנחה נוספת, ואשר שונה מן ההנחה הקודמת: "דרך נקודה נתונה יש אינסוף מקבילים לישר נתון". גם מהנחה זאת אפשר לצאת למחקר לוגי שיביא מסקנות אחרות....

אז מהי בעצם מתמטיקה?
מכריזים על עצמי יסוד, ובאמצעותם מגדירים עצמים רגילים. למשל: "נקודה, ישר, זווית, משולש", אלה הם כלי המשחק שלנו.
מכריזים על יחסי יסוד ויחסים שאינם יסודיים, בין העצמים הנ"ל. למשל: "ישר מכיל נקודה", "מישור מכיל ישר", "חפיפת משולשים", "קטע A גדול מקטע B". "ישר A מקביל לקטע B"
מכריזים על פעולות יסוד ופעולות רגילות בין האובייקטים. למשל "זווית A ועוד זווית B", "קטע A ועוד קטע B" ועוד

במהלך  החקירה אנו בודקים את נכונותם של משפטים. המבנה של כל משפט הוא:
אם (סדרת תנאים) אזי מתקיים (תאור מצב).
לכל משפט ייתכנו שלושה מצבים מתחרים שרק אחד מהם הוא נכון:
"אם (סדרת-תנאים) אזי מתקיים (תאור מצב)"
"אם (סדרת תנאים) אזי לא מתקיים (תאור מצב)"
" (סדרת תנאים)  אינה מספקת לקבוע (תאור מצב). לפעמים כן, לפעמים לא, תלוי בתנאים אחרים"

לדוגמא, הנה 3 טענות מתחרות:
"במשולש, אם יש שתי צלעות שוות, אזי הזוויות שמולן שוות אף הן זו לזו".
"במשולש, אם יש שתי צלעות שוות, אזי הזוויות שמולן בהכרח אינן שוות זו לזו"
"במשולש, אם יש שתי צלעות שוות, אז יתכן שהזוויות שמולן - שוות או שונות". כלומר: אין לגזור (להסיק) את התשובה בוודאות מן הנתונים.

 לעתים אנו נתקלים בטענות שהן בלתי תלויות בהנחות קודמות.

לדוגמא, לאחר שקבענו את מושגי היסוד של הגיאומטריה, נשאלת השאלה: "האם דרך שתי נקודות כלשהן עובר קו ישר ?".
לצורך החקירה המתמטית-לוגית, עלינו לבחון ולבחור את התשובה מתוך 3 הבררות המתחרות הבאות:.
ברירה ראשונה: "כן. דרך 2 נקודות עובר לפחות קו יישר אחד".
ברירה שניה :    "לא. דרך 2 נקודות נתונות לעולם לא יעבור ישר כלשהו".
ברירה שלישית: "לפעמים כן ולפעמים לא. הנתונים אינם מספיקים לקביעה נחרצת".
את הברירה השניה נוכל לפסול בקלות, שהרי אם על ישר נתון נקצה 2 נקודות כלשהן, כי אז בהכרח קיבלנו ישר העובר בין אותן 2 נקודות. לכן ברירה 2 פסולה.
לעומת זאת, אין לנו שום דרך לפסול את ברירה מספר 1, או את ברירה מספר 3. כל אחת מהנחות אלה הנה סבירה, בלתי מופרכת ושוות זכויות לאחותה. אי לכך, אנו רשאים לבחור כל אחת מהן כאקסיומה חדשה. מרגע זה ואילך, בכל שלבי החקירה המתמטית של הענף הזה, יש להסתמך על האקסיומה שנבחרה כעל טעון תקף.

הגיאומטריה הרגילה שלמדנו בבית הספר, נקראת "גיאומטריה אויקלידית". בגיאומטריה זו נבחרה האפשרות הראשונה בתור אקסיומה. "דרך 2 נקודות עובר לפחות קו יישר אחד".
מיד מתעוררת בעיה חדשה: האם היישר הזה הוא ישר יחיד ? שמא ייתכנו מספר יישרים העוברים דרך הנקודות הנתונות?
שוב יש לנו 3 ברירות מתחרות:
ברירה ראשונה: "כן.  מדובר ביישר אחד ויחיד"
ברירה שניה:     "לא. יש יותר מיישר אחד".
ברירה שלישית: "לפעמים מדובר ביישר אחד ולפעמים יותר. הנתונים אינם מספיקים".

אם נבחר בברירה הראשונה – נקבל ענף גאומטריה שאחד מענפיו הוא הגיאומטריה האויקלידית. למעשה, בגיאומטריה האויקלידית הקלאסית, איחדו את שתי האקסיומות הנ"ל לאקסיומה אחת: "דרך 2 נקודות עובר ישר אחד ורק אחד". איחוד זה היה שגוי אך הופרד כיאות ע"י המתמטיקאי דוד הילברט ב 1899.
אם נבחר בברירה השניה – נקבל הסתעפות המובילה לאחת הגיאומטריות הלא אויקלידיות.
הברירה השלישית - לא נחקרה מעולם ככל הידוע לי.

 
הנה כי כן, אקסיומה אינה סתם משפט שהוא בלתי ניתן להוכחה. זוהי ראייה נאיבית עד מאוד. אקסיומה היא בעצם "הנחה נבחרת" מתוך סדרה של שלוש הנחות מתחרות. הבחירה של הנחה שכזו הנה, בעצם, שרירותית וזמנית, לצורך המשך החקירה של התולדות הלוגיות.
לעתים נתקל במצבים שבהן יש שתי טענות (או יותר) שקולות. אם הן ניתנות להוכחה, כי אז מדובר בשני משפטים שקולים. אם לא ניתן להוכיחן על סמך אקסיומות קודמות, כי אז אפשר לבחור אחת מהן בתור אקסיומה, ואת השניה בתור משפט המסתמך עליה.

כל משפט במתמטיקה מסתמך על סדרת אקסיומות (לפחות אחת, אולי יותר, בנוסף למושגים וליחסים היסודיים). כך הופכת אותה סדרת אקסיומות למעין מגילת יוחסין של המשפט המדובר. למעשה, מן הראוי לציין את "מגילת היוחסין" הזו לכל משפט בכל תורה מתמטית.

בראיה מקיפה של כל הנאמר עד כה, נראית כל תורה מתמטית כמארג של אקסיומות ומשפטים התלויים בהם, אך ללא שום אמת מוחלטת !

אמרפל