מחשבות
      לחופו של אוקיינוס
 
על אופן הישום של הדמוקרטיה  |  תורות מיסטיות  |  סמכות הריבון  |  תחלואי הדמוקרטיה הפרלמנטרית  |  מימון להשכלה הגבוהה  |  הימורים באינטרנט  |  התחממות כדור הארץ  |  מי משלם את המע"ם ?  |  מסים  |  שביתת המורים  |  

מונה:



להצטרפות לרשימת התפוצה הכנס את כתובת הדואר האלקטרוני שלך:
 שלח


המתמטיקה כתבנית

דף הבית >> מדע >> המתמטיקה כתבנית

במאמר זה אני מציג השקפה יפהפיה על המתמטיקה (או לייתר דיוק: על התורות מתמטיות בתחומים השונים).  זוהי ראיה שונה במקצת ממה שמלמדים בתיכון ברמה המוגברת. אלמנטים אחדים מדברי - לא ראיתים בשום מקום, והם נאמרים על דעתי הפרטית בלבד.

ובכן, מהי מתמטיקה?

מתמטיקה הינה חקירת תולדות הגיוניות של מושגי יסוד, יחסי יסוד שביניהם, פעולות שביניהם, והנחות (אקסיומות) נתונות.
ותו לא.

כלומר, המתמטיקה אינה קובעת כי "דרך נקודה נתונה עובר מקביל אחד ורק אחד לישר נתון". לא ולא! המתמטיקה משתמשת באמירה זו כהנחה, וחוקרת את המסקנות הלוגיות המשתמעות מהנחה זו.

הנה דוגמא להנחה נוספת, ואשר שונה מן ההנחה הקודמת: "דרך נקודה נתונה יש אינסוף מקבילים לישר נתון". גם מהנחה זאת אפשר לצאת למחקר לוגי שיביא מסקנות אחרות....

אז מהי בעצם תורה מתמטית?
מכריזים על עצמי יסוד, ובאמצעותם מגדירים עצמים רגילים. למשל: "נקודה, ישר, זווית, משולש", אלה הם כלי המשחק שלנו.
מכריזים על יחסי יסוד ויחסים שאינם יסודיים, בין העצמים הנ"ל. למשל: "ישר מכיל נקודה", "מישור מכיל ישר", "חפיפת משולשים", "קטע A גדול מקטע B". "ישר A מקביל לקטע B"
מכריזים על פעולות יסוד ופעולות רגילות בין האובייקטים. למשל "זווית A ועוד זווית B", "קטע A ועוד קטע B" ועוד

במהלך  החקירה אנו בודקים את נכונותם של משפטים. המבנה של כל משפט הוא:
אם (סדרת תנאים) אזי מתקיים (תאור מצב).
לכל משפט ייתכנו שלושה מצבים מתחרים שרק אחד מהם הוא נכון:

"אם (סדרת-תנאים) אזי מתקיים (תאור מצב)"
"אם (סדרת תנאים) אזי לא מתקיים (תאור מצב)"
" (סדרת תנאים)  אינה מספקת לקבוע (תאור מצב). לפעמים כן, לפעמים לא, תלוי בתנאים אחרים"

לדוגמא, הנה 3 טענות מתחרות:
"במשולש, אם יש שתי צלעות שוות, אזי הזוויות שמולן שוות אף הן זו לזו".
"במשולש, אם יש שתי צלעות שוות, אזי הזוויות שמולן בהכרח אינן שוות זו לזו"
"במשולש, אם יש שתי צלעות שוות, אז יתכן שהזוויות שמולן - שוות או שונות". כלומר: אין לגזור (להסיק) את שיוויון הזוויות משיוויון הצלעות.

 לעתים אנו נתקלים בטענות שהן בלתי תלויות בהנחות קודמות.

לדוגמא, לאחר שקבענו את מושגי היסוד של הגיאומטריה, נשאלת השאלה: "האם דרך שתי נקודות כלשהן עובר קו ישר ?".
לצורך החקירה המתמטית-לוגית, עלינו לבחון ולבחור את התשובה מתוך 3 הבררות המתחרות הבאות:.
ברירה ראשונה: "כן. דרך 2 נקודות עובר לפחות קו יישר אחד".
ברירה שניה :    "לא. דרך 2 נקודות נתונות לעולם לא יעבור ישר כלשהו".
ברירה שלישית: "לפעמים כן ולפעמים לא. הנתונים אינם מספיקים לקביעה נחרצת".
את הברירה השניה נוכל לפסול בקלות, שהרי אם על ישר נתון נקצה 2 נקודות כלשהן, כי אז בהכרח קיבלנו ישר העובר בין אותן 2 נקודות. לכן ברירה 2 פסולה.
לעומת זאת, אין לנו שום דרך לפסול את ברירה מספר 1, או את ברירה מספר 3. כל אחת מהנחות אלה הנה סבירה, בלתי מופרכת ושוות זכויות לאחותה. אי לכך, אנו רשאים לבחור כל אחת מהן כאקסיומה חדשה. מרגע זה ואילך, בכל שלבי החקירה המתמטית של הענף הזה, יש להסתמך על האקסיומה שנבחרה כעל טעון תקף. אפשר לחשוב על כך באופן הבא: אנו חוקרים 2 עולמות. בעולם א תשלוט הברירה הראשונה, בעולם ב תשלוט הברירה השלישית. ומה לגבי עולם של הברירה השניה? ובכן, עולם שכזה אינו מכיל שום ישר. הוא ריק מיישרים.

הגיאומטריה הרגילה שלמדנו בבית הספר, נקראת "גיאומטריה אויקלידית". בגיאומטריה זו נבחרה האפשרות הראשונה בתור אקסיומה. "דרך 2 נקודות עובר לפחות קו יישר אחד".
מיד מתעוררת בעיה חדשה: האם היישר הזה הוא ישר יחיד ? שמא ייתכנו מספר יישרים העוברים דרך הנקודות הנתונות?
שוב יש לנו 3 ברירות מתחרות:
ברירה ראשונה: "כן.  מדובר ביישר אחד ויחיד"
ברירה שניה:     "לא. יש יותר מיישר אחד".
ברירה שלישית: "לפעמים מדובר ביישר אחד ולפעמים יותר. הנתונים אינם מספיקים".

אם נבחר בברירה הראשונה – נקבל ענף גאומטריה שאחד מענפיו הוא הגיאומטריה האויקלידית. למעשה, בגיאומטריה האויקלידית הקלאסית, איחדו את שתי האקסיומות הנ"ל לאקסיומה אחת: "דרך 2 נקודות עובר ישר אחד ורק אחד". איחוד זה היה שגוי אך הופרד כיאות ע"י המתמטיקאי דוד הילברט ב 1899.
אם נבחר בברירה השניה – נקבל הסתעפות המובילה לאחת הגיאומטריות הלא אויקלידיות.
הברירה השלישית - לא נחקרה מעולם ככל הידוע לי.

 
הנה כי כן, אקסיומה אינה סתם משפט שהוא בלתי ניתן להוכחה. זוהי ראייה נאיבית עד מאוד. אקסיומה היא בעצם "הנחה נבחרת" מתוך סדרה של שלוש הנחות מתחרות. הבחירה של הנחה שכזו הנה, בעצם, שרירותית וזמנית, לצורך המשך החקירה של התולדות הלוגיות.

* לעתים נתקל במצבים שבהן יש שתי טענות (או יותר) שקולות. כלומר שניתן לבחור אחת מהן כאקסיומה ואת האחרות כמשפטים הנסמכים עליה. 

* כל משפט במתמטיקה מסתמך על סדרת אקסיומות (לפחות אחת, אולי יותר, בנוסף למושגים וליחסים היסודיים). כך הופכת אותה סדרת אקסיומות למעין מגילת יוחסין של המשפט המדובר. למעשה, מן הראוי לציין את "מגילת היוחסין" הזו לכל משפט בכל תורה מתמטית. לדוגמא: אם משפט א מסתמך על אקסיומות מספר 1 ומספר 2, ומשפט ב מסתמך על אקסיומות 2 ו-3, אזי אם משפט ג מסתמך על שני המשפטים, אזי נובע מכך שהוא נסמך על אקסיומות 1,2,3. אקסיומות אלה צריכות להופיע במגילת היוחסין שלו.

* במהלך של חקירה מתמטית, בכל צעד ושעל עולה השאלה מה הקשר בין (סדרת תנאים) לבין תולדה אפשרית. אז יש לבחור בין 3 הברירות שעולות. ברירת המחדל היא תמיד אפשרות ג. כלומר (סדרת תנאים) אינה מחייבת תולדה כלשהי. למשל הנה טענה:
בכל משולש שווה שוקיים יש זוג זוויות של 20 מעלות כל אחת.
(כאן ניתן להוכיח באמצעות אקסיומות קודמות כי אפשרות ג היא הנכונה)
לעומת זאת:
בכל משולש שווה שוקיים יש זוג זוויות של 95 מעלות כל אחת.
כאן ניתן להוכיח באמצעות אקסיומות קודמות שאפשרות ב היא הנכונה.

בראיה מקיפה של כל הנאמר עד כה, נראית כל תורה מתמטית כמארג של אקסיומות ומשפטים התלויים בהם, אך ללא שום אמת מוחלטת !

 

חיים אבגד,
1995, 2013


+ הוסף תגובה חדשה
תגובות: (צפה ב-  תגובות בעמוד זה)
Loading בטעינה...
קידום אתרים - קידום אתרים